Проектная деятельность на уроках математики

Project activities in mathematics lessons

 

Автор: Кокурина Любовь Михайловна

МБОУ "Лицей № 1", г. Братск, Россия.

e-mail: kokurina1986@inbox.ru 

Kokurina Lyubov Mikhailovna

Lyceum No. 1, Bratsk, Russia.

e-mail: kokurina1986@inbox.ru

 

Аннотация: В статье описывается практическое применение диаграммы Вороного для решения проектных задач на геометрическую близость. Приведенный материал содержит подробные объяснения решений заданий.

Abstract: The article describes the practical application of the Crow's diagram to solve design problems on geometric proximity. This material contains detailed explanations of job decisions.

Ключевые слова: проектная деятельность, математика.

Keywords: project activity, mathematics.

Тематическая рубрика: Средняя школа, НПО, СПО.

 

Диаграмма Вороно́го названа в честь своего создателя - русского ученого Георгия Феодосьевича Вороно́го (1868-1908 гг.). В наше время работы Вороного используют специалисты разных областей знаний практически во всех странах мира. За рубежом его работы известны даже больше, чем на постсоветском пространстве. Российские школьники подробно изучая на уроках математики и информатики диаграммы и графы, ничего не слышали о диаграмме Вороного.

Диаграмму Вороного также называют полигонами Вороного, ячейками Вороного или мозаикой Вороного. Кроме научного применения диаграмма Вороного встречается в природе, ею вдохновляются художники, архитекторы и конструкторы.

Диаграмма Вороного - это разбиение плоскости с n-ым количеством точек (узлов) на множество выпуклых многогранников (полигонов) таким образом, что каждый из них содержит один узел и любая точка внутри данного полигона ближе к своему узлу, чем к любому другому (см. рис. 1) .

 

Рис. 1. Диаграмма Вороного

Построение диаграммы Вороного:

Полигоны образуются пересечением срединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим узлы (см. рис. 2).

 

Рис. 2. Построение диаграммы Вороного

Свойства диаграммы Вороного:

· Каждая из n исходных точек множества принадлежит в точности одному полигону Вороного. Поэтому, если некая точка находится внутри полигона, то узел этого полигона является ближайшим соседом этой точки среди множества других узлов (см. рис. 2).

· Точка пересечения рёбер диаграммы называется вершиной (см. рис. 1).

· Поскольку диаграмма Вороного содержит вершины и рёбра она является графом. Что вытекает из определения графа:

Граф - абстрактный математический объект, представляющий собой множество вершин и набор рёбер - соединений между вершинами.  

· Поскольку диаграмма Вороного представлена отрезками и геометрическими фигурами, она является диаграммой. Что вытекает из определения диаграммы:

Диагра́мма - графическое представление данных линейными отрезками или геометрическими фигурами.

· Каждая вершина диаграммы Вороного является центром окружности, проведённой через ближайшие к ней узлы. Вершина диаграммы равноудалена от этих узлов.

· Ближайшую пару узлов определяет ребро диаграммы Вороного. Любая точка, находящаяся на ребре диаграммы Вороного равноудалена от ближайших к ребру узлов.

· Вершиной диаграммы Вороного для узлов, являющихся вершинами правильного многоугольника, будет центр описанной окружности данного многоугольника.

Проектная задача 1. Поиск ближайшего соседа.

Естественным для человека стремлением является поиск ближайшего к нему (соседнего) социального объекта, в котором он в данный момент нуждается.

Классическая задача почтовых отделений является одной из первых задач вычислительной геометрии, на примере которой принято демонстрировать концепцию диаграммы Вороного.

В какой-то местности есть n-ое количество почтовых отделений. И человек, находясь в определённом месте, спрашивает о ближайшем почтовом отделении. Проблема решается путём построения диаграммы Вороного для всех почтовых отделений. Местоположение человека будет отнесено к одной из областей, и ближайшим будет почтовое отделение, которое в ней находится (см. рис. 3).

 

Рис. 3. К задаче о почтовых отделениях.

Проектная задача 2. Поиск ближайшего эвакуационного выхода.

25 марта 2018 г. в Кемерово случился крупный пожар в торгово-развлекательном центре «Зимняя вишня», унёсший 64 жизни. Одной из причин большого количества жертв явилось то, что люди не успели вовремя эвакуироваться через пожарные выходы.

В каждом крупном социальном объекте размещаются схемы расположения эвакуационных выходов, но без особой необходимости эти схемы никто не изучает, а в задымленном помещении их и вовсе не рассмотреть. Поэтому, когда случается беда, люди не всегда бегут к ближайшему от них выходу, о котором могут и не знать, а стремятся к тому, в который вошли, создавая этим дополнительную давку.

Для повышения эффективности противопожарной системы можно использовать диаграмму Вороного. Её применение позволяет определить для каждого эвакуационного выхода граничную область. Для людей в этой области данный выход будет ближайшим (рис. 4). Чтобы организовать эвакуацию людей через ближайший к ним выход в неосвещенном и задымленном помещении можно использовать светящиеся в темноте фотолюминесцентные знаки, расположенные по стенам и на полу на путях эвакуации.

 

Рис. 4. Диаграмма Вороного для эвакуационных выходов.

Проектная задача 3. Поиск пути в среде со статическими препятствиями.

Решение задачи построения маршрута с учётом препятствий сводится к построению диаграммы Вороного, узлами которой будут являться огибаемые препятствия. Диаграмма Вороного может применяться для навигации мобильных роботов. Например, робот-пылесос, огибая препятствия в комнате, движется по границам ячеек диаграммы Вороного.

Проектная задача 4. Оптимальная расстановка охранников.

Диаграмму Вороного можно применять для оптимальной расстановки охранников или камер наблюдения на охраняемых объектах. За узлы диаграммы следует принять экспонаты.

Оптимальным будет такая расстановка охранников, при которой каждый из них со своего наблюдательного пункта может визуально осматривать как можно большее число экспонатов, при этом не должно быть «слепых» зон, не просматриваемых охранниками. Каждый охранник может поворачиваться на 360°.

Примеры задач для школьников.

1. Герои Lunnis (Лос Луннис — испанский детский познавательный сериал со смешными персонажами) находятся на детской площадке, по одному в разных местах. И вдруг кто-то находит конфету, которая расположена так, как на рисунке. Чья это конфета?

2. Поиск ближайшей аптеки, расположенной в жилом районе Энергетик города Братска. Сделать вывод о потребности в аптеках жителей того или другого микрорайона.

3. Поиск ближайшего банкомата, расположенного в жилом районе Энергетик. Сделать вывод о том, жителям какого микрорайона дальше всех добираться до банкомата.

4. Представим такую ситуацию, вы отправились кататься на моторной лодке по Братскому водохранилищу, и у вас закончилось горючее. При этом вы знаете свое точное место нахождения. Как определить, до какого населенного пункта грести вёслами ближе и быстрее? Если у вас при себе есть карта, то диаграмма Вороного даст ответ на вопрос, к какому населенному пункту вы находитесь ближе всего.

5. На уроках физкультуры можно наблюдать такие ситуации, когда во время игры в волейбол одновременно два игрока касаются мяча или наоборот, никто не берет пас, думая, что это сделает другой игрок команды, находящийся ближе к мячу. Определите границы зоны ответственности на игровом поле для каждого члена команды.

 

Литература:

Геометрическое моделирование и компьютерная графика: вычислительные и алгоритмические основы. Курс лекций / Д.М.Васильков. – Минск: БГУ, 2011 4. QuantZero. Диаграмма Вороного и её применения