Основные методы решения планиметрических задач

Дата публикации: 2019-01-02 08:31:32
Статью разместил(а):
Жило Галина Григорьевна

Основные методы решения планиметрических задач

Basic methods for solving tasks planimetricheskih

 

Авторы:

Жило Галина Григорьевна

учитель математики МБОУ «Сорская СОШ № 3 с УИОП»

E-mail: galazhilo@yandex.ru

Новоселова Наталья Афанасьевна

учитель математики МБОУ «Сорская СОШ № 3 с УИОП»

E-mail: shcola3@yandex.ru

Gilo Galina Grigorievna

mathematics teacher School № 3.

E-mail: galazhilo@yandex.ru

Novoselova Natalia Afanasievna

E-mail: shcola3@yandex.ru

 

Аннотация: В статье рассматриваются рациональные методы решения геометрических задач из раздела «Планиметрия».

Abstract: this article discusses the rational methods of solving geometric problems from the section "Mapping".

Ключевые слова: геометрические задачи, планиметрия, методы решения.

Keywords: geometric problems, planimetry, methods of solution.

Тематическая рубрика: Средняя школа, НПО, СПО.

 

Решение планиметрических задач по геометрии вызывает трудности почти у большинства обучающихся. Это связано как с обилием различных типов задач, так и с многообразием приемов и методов их решения.

Как научиться решать задачи по планиметрии?  Прежде всего, конечно, необходимо обобщить и систематизировать знания по предмету. К сожалению, на страницах школьных учебников не содержится информация о том, какие существуют методы решения геометрических задач. Наверное, потому, что в отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически каждая задача требует «индивидуального» подхода. Изучив литературу по вопросу исследования,  можно выделить некоторые основные приемы  и методы решения планиметрических задач: поэтапно-вычислительный, алгебраический, тригонометрический, геометрический, метод вспомогательного аргумента, метод площадей, метод подобия, комбинированный метод и метод ключевых (базисных) задач.

Охватить всю геометрию сразу невозможно, поэтому в данной работе рассмотрен один метод - метод решения планиметрических задач с помощью базисных задач-теорем. Также показано, что в  решении каждой задачи набора может эффективно использоваться утверждение его базисной (опорной) задачи-теоремы. Это задачи, которые используются наряду с главными теоремами геометрии: теоремой Пифагора, синусов, косинусов и другие.

 

Основные методы решения задач по геометрии

Обзор общих методов и приемов решения геометрических задач.

Умение решать задачи  всегда основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении приёмами и методами решения.  Для успешного решения  задачи необходимо знать методы решения геометрических задач.

Краткая характеристика основных методов решения геометрических задач.

1.  Поэтапно-вычислительный метод.

Данный метод заключается в том, что задача разбивается на ряд подзадач, каждая из ко-торых является либо элементарной, либо опорной,  поэтапное решение  этих подзадач и при-водит к решению  данной задачи.

2.  Алгебраический метод решения.

Под алгебраическим методом понимают  метод составления уравнения или системы уравнений, в которые входят данные и искомые величины. Этот метод является одним из наиболее распространенных при решении прямоугольных треугольников.

3.  Геометрические методы.

К таким методам решения задач относят методы, использующие дополнительные построения, которые позволяют существенно упростить решение задачи. Это, например такие дополнительные построения, как:

•          проведение прямой через две данные точки;

•          проведение через заданную точку прямой, параллельно данной, либо перпендикулярно данной:

•          симметричные построения, поворот и т.д.

4.  Метод площадей.

Данный метод предполагает использование свойств площадей к решению задач. Такие задачи, как правило не имеют универсального способа их решения. При поиске решения здесь приходится проявлять в полной мере и геометрическое видение, и творческий подход.

5. Метод вспомогательного элемента.

Иногда при решении геометрических задач надо ввести вспомогательный отрезок или угол. Чаще всего это разумно сделать в том случае, если в задаче  для её решения недостаточно  численных данных. Тогда величину недостающего отрезка или угла полагают равной, например, х и затем находят искомую величину. В процессе вычислений вспомогательная величина, как правило, сокращается, поэтому данный метод близок к алгебраическому методу.

6. Комбинированный метод.

 Комбинированный метод часто применяется при решении сложных задач, когда   невозможно обойтись каким - то одним методом решения и приходится прибегать к использованию нескольких методов.

7. Метод ключевых задач.

Учиться решать задачи с помощью ключевых – идея древняя.

Метод составления системы задач, построенный по принципу - каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо опорной (базисной) задачи, называется методом ключевой задачи.

Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме.

Например,  из школьного курса планиметрии нам известны следующие ключевые задачи:

1. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

3. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

4. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

5. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

6. Задача об отношении площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание).

7.  Задача об отношении площадей подобных треугольников.

Методы, использующие дополнительные построения (ДП):

1. «Прямая, параллельная диагонали».

2. «Средние линии треугольников».

3. «Середины сторон трапеции».

4. «Первый признак равенства треугольников».

5. «Второй признак равенства треугольников».

6. «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых».

 Методы, основанные на подобии треугольников:

1. «Подобие треугольников».

2. «Коэффициент подобия треугольников».

3. «Метод тригонометрической замены».

Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника:

1. «Метод площадей и тригонометрия».

2. «Соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника и подобие треугольников».

3. «Метод высот».

4. Координатный метод.

Методы, использующие векторный аппарат:

1. «Сложение векторов».

2. «Коллинеарные векторы».

Некоторые способы искусственны и не являются оптимальными.

На наш взгляд, самым понятным и простым является метод, использующий дополнительные построения.

Кроме этого на примере решения этой задачи мы смогли увидеть многообразие геометрической теории, возможность ее успешного комбинирования с алгебраическим методом.

Проведенное исследование среди 8-11 классов показало, что большинство обучающихся начинали решать эту задачу методом, основанным на подобии треугольника, и использованием теоремы Пифагора. Этот метод достаточно трудоемкий, особенно для обучающихся 8-9 классов. Обучающиеся 10-11 классов также начинали решать эту задачу методом, основанным на подобии треугольника, и использованием теоремы Пифагора, но, столкнувшись с тем, что этот процесс достаточно трудоемкий, пришли к выводу, что данную задачу оптимально решать методом дополнительных построений.

Обучающиеся не использовали при решении задачи следующие методы:

- «сложение векторов»;

- «коллинеарные векторы»;

- первый, второй признаки равенства треугольников;

- коэффициент подобия треугольников;

- метод тригонометрической замены.

 

Библиографический список:

1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. «Геометрия 7-9», Москва, «Просвещение», 2005г.

2. И.Ф. Шарыгин «Факультативный курс по математике: решение задач », Москва, «Просвещение», 1989г.

3. А.И. Громов, В.М. Савчин «Пособие - репетитор по математике», Ростов-на-Дону, «Феникс», 2001г.

4. В.К. Егерев, и др. «Сборник задач по математике для поступающих в вузы, геометрия» под редакцией М.И. Сканави, Москва, «Оникс, Альянс-В», 2000г.

5. Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский «Пособие для учащихся 7-11 классов общеобразовательных учреждений», Москва, «Просвещение», 2000г.

6. Ж.Черняк, А. Черняк «Математика: решение наиболее трудных задач из Сканави», Москва, «Айрис, Пресс, Рольф» 1999г.

7. К.С. Барыбин И.Н. Добрынин «Сборник задач по геометрии», Москва, «Учпедгиз», 1961г.