Элементы математического моделирования при решении практико-ориентированных задач по геометрии

Дата публикации: 2018-06-19 19:29:48
Статью разместил(а):
Тяглова Елена Григорьевна

Элементы математического моделирования при решении практико-ориентированных задач по геометрии

Автор: Тяглова Елена Григорьевна

Центр математического образования КК ИПК, г. Красноярск

 

Как известно, математика отражает в своих понятиях и утверждениях объекты окружающего мира и их свойства. Такой метод познания действительности, опирающийся на построение и изучение моделей реальных явлений, позволил математике проникнуть во все сферы деятельности и стать универсальным инструментом для описания многих объектов реального мира. Проявления этого метода в изучении реальности служат теоретическим основанием практико-ориентированного обучения математике в школе.

Важной целью изучения математики в школе является овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования, а также формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов.

Достижение выпускниками поставленной цели проверяется в рамках государственной итоговой аттестации через решение заданий, направленных на проверку умения описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

Таким образом, в данной работе будем рассматривать методику решения практико-ориентированных задач по геометрии из открытого банка экзаменационных заданий.

Для дальнейшего обсуждения будем придерживаться следующего определения. Математические задачи, в содержании которых описаны ситуации из окружающей действительности, связанные с формированием практических навыков использования математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни назовем практико-ориентированными задачами.

К отличительным особенностям практико-ориентированных задач можно отнести следующие моменты:

  • · условие задачи сформулировано как сюжет, ситуация или проблема, для разрешения которой необходимо использовать знания из разных разделов основного предмета – математики, из другого предмета или из жизни, на которые нет явного указания в тексте задачи;
  • · информация и данные в задаче могут быть представлены в различной форме, что потребует выделение объектов, понимание какие свойства объектов существенны, а какими можно пренебречь, чтобы не усложнять решение задачи;
  • · указание (явное или неявное) области применения результата, полученного при решении задачи;
  • ·  значимость получаемого результата, что повышает познавательную мотивацию учащегося.

В методической литературе [1] можно встретить следующую классификацию задач по уровням сложности:

1. В задаче имеется прямое указание на математическую модель;

2. Объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями;

3. Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно – требуется учет реально сложившихся условий;

4. Объекты и отношения задачи явно не выделены, или их математические эквиваленты неизвестны школьникам.

Решение любой задачи, в том числе и практико-ориентированной не зависимо от ее уровня сложности, состоит из трех этапов:

1. Анализ условия, перевод задачи на математический язык и составление математической модели;

2. Решение математической модели;

3. Интерпретация результата.

На первом этапе из условия задачи следует выделять объекты реальной действительности, которые могут быть описаны средствами школьного курса геометрии. Поставить в соответствие выделенным объектам и отношениям между ними их математические аналоги. Описывать эти объекты и отношения на языке математики. При построении модели следует устанавливать соответствие между содержательной и математической моделью объекта в зависимости от предъявленных условий, соотносить реальные объекты различной природы с одной математической (геометрической) моделью, описывать реальный объект несколькими математическими (геометрическими) моделями, оценивать полноту исходных данных для построения математической модели.

Для того чтобы понять правильно ли задача переведена на математический язык (для задач первого и второго уровня сложности), следует попытаться построить из математической задачи снова практико-ориентированную с исходной сюжетной линией. Если данные в математической модели позволяют это сделать, значит, математическая модель составлена правильно.

На втором этапе следует выбрать рациональные методы решения математической задачи.

На третьем этапе необходимо интерпретировать результат исследования математической модели с требуемой погрешностью.

Рассмотрим первый этап – этап анализа и моделирования на примере решения практико-ориентированных задач по геометрии, выносимых на государственную итоговую аттестацию по математике. В качестве модели будем рассматривать перевод сюжетной задачи на язык геометрической задачи. Причем условие геометрической задачи мы можем формулировать как в виде текста, так и в виде краткой записи: «Дано» и «Чертеж».

Анализ практико-ориентированных задач по геометрии открытого банка ОГЭ и ЕГЭ показал, что данные задачи относятся к первому или второму уровню сложности.

Традиционно наиболее сложным этапом представляется первый этап решения задачи – анализ условия задачи, установление соответствия «реальный объект - его математическая модель», а также установление отношений между реальными объектами и их математическими моделями согласно сюжету задачи. Предлагаю рассмотреть несколько примеров, каким образом можно проводить данный этап.

Пример 1. Найдите угол, который образуют минутная и часовая стрелки часов в 7:00. Ответ дайте в градусах.

Какие реальные объекты встретились в задаче? Какие математические аналоги можем им сопоставить?

Реальный объект

Математическая модель

(математический аналог)

Циферблат часов

Круг, разделенный на 12 равных частей радиусами (круг, разделен на 12 равных секторов)

Часовая стрелка

Отрезок, равный радиусу круга

Минутная стрелка

Отрезок, равный радиусу круга

 Какое отношение между реальными объектами? Какое отношение между их математическими аналогами реальных объектов?

Отношение между реальными объектами

Отношение между математическими аналогами

Стрелки прикреплены к центру циферблата

Радиусы круга соединяют центр круга и точку окружности

Часовая стрелка и минутная стрелки показывают 7:00

Между радиусами заключено 5 равных секторов.

После проведенного анализа мы можем сформулировать математическую модель исходной задачи:

Круг разбит на 12 равных секторов. Проведены два радиуса таким образом, что между ними заключены 5 секторов. Найдите угол между радиусами.

Математическую модель задачи мы можем представить и в виде краткой записи (чертеж можно легко восстановить самим):

Дано: Круг, разбит на 12 равных секторов; ОА, ОВ – радиусы; Между ОА и ОВ 5 секторов.

Пример 2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

Какие реальные объекты встретились в задаче? Какие математические аналоги можем им сопоставить?

Реальный объект

Математическая модель (математический аналог)

Дом

Точка

Путь, пройденный от дома в западном направлении 500 м.

Отрезок длиной 500 м.

Путь, пройденный на север 300 м.

Отрезок длиной 300 м.

Путь, пройденный на восток 100 м.

Отрезок длиной 100 м.

Расстояние от дома до местоположения девочки

Отрезок

Какое отношение между реальными объектами? Какое отношение между их математическими аналогами реальных объектов?

Отношение между реальными объектами

Отношение между математическими аналогами

Связь между направлениями движения определена сторонами света, стороны света расположены по отношению друг у другу под прямым углом.

Две перпендикулярные прямые

Путь, пройденный от дома в западном направлении 500 м.

Из точки «Дом» горизонтально проводим влево отрезок длиной 500 м.

Путь, пройденный на север 300 м.

 Из конца предыдущего отрезка проводим отрезок перпендикулярно вверх длиной 300 м.

Путь, пройденный на восток 100 м.

Из конца предыдущего отрезка проводим отрезок горизонтально вправо длиной 100 м.

Расстояние от дома до местоположения девочки

Соединяем конец предыдущего отрезка с точкой дом.

Весь пройденный путь вместе с искомым расстоянием

Прямоугольная трапеция

 После проведенного анализа мы можем сформулировать математическую модель исходной задачи:

В прямоугольной трапеции основания равны 500 м и 100 м, меньшая боковая сторона 300 м. Найдите боковую сторону трапеции.

Математическую модель задачи мы можем представить также в виде краткой записи (чертеж можно легко восстановить самим):

Дано: ABCD  – прямоугольная трапеция, AD = 500, ВС = 100, АВ = 300.  Найти DC.

Таким образом, можно взять задачи из открытого банка заданий (ОГЭ задача 15, базовый ЕГЭ задача 8 и 13, профильный ЕГЭ задача 8) и сформулировать их на математическом языке по описанной выше методике. В итоге получим набор геометрических задач. Проанализировав тот теоретический материал, который используется при решении полученных математических моделей, можно расклассифицировать задачи по темам. Далее использовать полученную классификацию либо при организации повторения при подготовке к государственной итоговой аттестации, либо на этапе освоения соответствующих теоретических знаний по геометрии. Данную работу лучше проводить совместно с учащимися, что повысит их мотивацию к предметной области «Математика».

 

 Список литературы:

  1. Егупова М.В. Практико-ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя. — М.: МГПУ, 2014 г.
  2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам "Решу ОГЭ". Математика.